약수의 합이 24인 자연수 모두 찾기

실마리: $n$의 양의 약수의 합은 $n$을 소인수분해하여 소인수마다 약수의 합을 곱한 것이므로, $n$의 꼴에 따라 경우를 나눈다. $n \in A _{n}$ 이고 $n = 1$이면 $S ( A _{1} ) = 1$이므로, $n \geq 2$이고 $S ( A _{n} ) \geq 1 + n$에서 $n \leq 23$이다. (ⅰ) $n$이 소수 $p$이면 $A _{n} = \left\{ 1 , p \right\}$이므로 $1 + p = 24$, $p = 23$ (ⅱ) $n = p ^{k}$ ($p$는 소수, $k \geq 2$)이면 $n \leq 23$에서 $n = 4 , 8 , 9 , 16$이고 $S ( A _{4} ) = 7$, $S ( A _{8} ) = 15$, $S ( A _{9} ) = 13$, $S ( A _{16} ) = 31$ 이므로 조건을 만족시키는 $n$은 없다. (ⅲ) $n = pq$ ($p < q$인 소수)이면 $A _{n} = \left\{ 1 , p , q , pq \right\}$이므로 $S ( A _{n} ) = 1 + p + q + pq = ( 1 + p ) ( 1 + q ) = 24$ $3 \leq 1 + p < 1 + q$이고 $24 = 3 \times 8 = 4 \times 6$이므로 $p = 2$, $q = 7$ 또는 $p = 3$, $q = 5$ 즉 $n = 14$ 또는 $n = 15$ (ⅳ) $n$이 소인수를 (중복을 포함하여) 셋 이상 가지면 $n \leq 23$에서 $n = 12 , 18 , 20$이고 $S ( A _{12} ) = 28$, $S ( A _{18} ) = 39$, $S ( A _{20} ) = 42$ 이므로 조건을 만족시키는 $n$은 없다. (ⅰ)~(ⅳ)에서 조건을 만족시키는 $n$은 $14 , 15 , 23$이다. 따라서 구하는 합은 $14 + 15 + 23 = 52$