접선의 길이가 같은 점의 자취와 넓이 이등분

접선의 길이의 제곱을 두 원의 방정식의 좌변으로 나타내면 조건이 두 식의 차, 곧 직선이 된다. $\mathrm{P} ( x , y )$ 라 하자. 원 $C _{1}$ 의 중심은 $( 0 , 0 )$, 반지름의 길이는 $3$ 이므로 원 $C _{1}$ 에 그은 접선의 길이의 제곱은 $x ^{2} + y ^{2} - 9$ 원 $C _{2}$ 를 변형하면 $\left( x - a \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 4$ 이므로 중심은 $( a , 3 )$, 반지름의 길이는 $2$ 이고, 원 $C _{2}$ 에 그은 접선의 길이의 제곱은 $( x - a ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} - 4 = x ^{2} + y ^{2} - 2 ax - 6 y + a ^{2} + 5$ 두 접선의 길이가 같으므로 $x ^{2} + y ^{2} - 9 = x ^{2} + y ^{2} - 2 ax - 6 y + a ^{2} + 5$ $2 ax + 6 y - a ^{2} - 14 = 0$ 따라서 점 $\mathrm{P}$ 는 직선 $l : 2 ax + 6 y - a ^{2} - 14 = 0$ 위에 있다. 직선 $l$ 이 원 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1$ 의 넓이를 이등분하려면 이 원의 중심 $( 3 , 1 )$ 을 지나야 하므로 $6 a + 6 - a ^{2} - 14 = 0$ $a ^{2} - 6 a + 8 = 0$, $( a - 2 ) ( a - 4 ) = 0$ $a = 2$ 또는 $a = 4$ 따라서 모든 실수 $a$ 의 값의 합은 $6$ 이다.