원 위의 정수 좌표 점의 개수

실마리: 원의 중심이 정수 좌표이므로 중심을 원점으로 옮기면 정수점의 개수는 $X ^{2} + Y ^{2} = r ^{2}$의 정수해의 개수와 같다. $x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 4 y - k = 0$에서 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 13 + k$ $X = x - 3$, $Y = y - 2$로 놓으면 $x$, $y$가 정수인 것과 $X$, $Y$가 정수인 것은 같으므로 $X ^{2} + Y ^{2} = 13 + k$의 정수해 $( X , Y )$의 개수가 $12$이어야 한다. $X ^{2} + Y ^{2} = n$의 정수해는 $n = a ^{2} + b ^{2}$ 꼴로 나타내는 방법마다 생긴다. $n = a ^{2} + 0 ^{2}$ ($a > 0$) 꼴은 $( \pm a , 0 )$, $( 0 , \pm a )$의 $4$개, $n = a ^{2} + b ^{2}$ ($a > b > 0$) 꼴은 부호와 순서를 바꾸어 $8$개이다. 정수해가 $12$개이려면 $n$을 두 제곱수의 합으로 나타내는 방법이 $4 + 8$ 꼴(예: $25 = 5 ^{2} + 0 ^{2} = 4 ^{2} + 3 ^{2}$)이거나 $8 + 4$ 꼴이어야 한다. $k$가 자연수이므로 $n = 13 + k \geq 14$이고, $14 \leq n \leq 24$인 경우를 살피면 $16 = 4 ^{2} + 0 ^{2}$에서 $4$개, $17 = 4 ^{2} + 1 ^{2}$에서 $8$개, $18 = 3 ^{2} + 3 ^{2}$에서 $( \pm 3 , \pm 3 )$의 $4$개, $20 = 4 ^{2} + 2 ^{2}$에서 $8$개 이고 $14$, $15$, $19$, $21$, $22$, $23$, $24$는 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. $n = 25$일 때 $25 = 5 ^{2} + 0 ^{2} = 4 ^{2} + 3 ^{2}$이므로 정수해는 $( \pm 5 , 0 )$, $( 0 , \pm 5 )$, $( \pm 4 , \pm 3 )$, $( \pm 3 , \pm 4 )$의 $4 + 8 = 12$개이다. 즉 $13 + k = 25$에서 $k = 12$일 때 처음으로 정수점이 $12$개가 된다. (검산) $k = 12$일 때 원 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 25$ 위의 정수점은 $( 8 , 2 )$, $( - 2 , 2 )$, $( 3 , 7 )$, $( 3 , - 3 )$, $( 7 , 5 )$, $( 7 , - 1 )$, $( - 1 , 5 )$, $( - 1 , - 1 )$, $( 6 , 6 )$, $( 6 , - 2 )$, $( 0 , 6 )$, $( 0 , - 2 )$의 $12$개이다. 따라서 $k$의 최솟값은 $12$