모든 t에 대하여 원이 되는 정수 조건

우변을 $t$ 에 대한 식으로 보고, 모든 $t$ 에 대하여 양수가 되는 조건을 찾는다. 주어진 방정식을 변형하면 $\left( x - t \right) ^{2} + \left( y - 2 t \right) ^{2} = t ^{2} + 4 t ^{2} - 4 t ^{2} - 2 kt - k ^{2} + 18$ $\left( x - t \right) ^{2} + \left( y - 2 t \right) ^{2} = t ^{2} - 2 kt - k ^{2} + 18$ 우변을 $t$ 에 대하여 정리하면 $t ^{2} - 2 kt - k ^{2} + 18 = \left( t - k \right) ^{2} - 2 k ^{2} + 18$ 이 값은 $t = k$ 일 때 최솟값 $- 2 k ^{2} + 18$ 을 가진다. 모든 실수 $t$ 에 대하여 원이 되려면 최솟값이 양수이어야 하므로 $- 2 k ^{2} + 18 > 0$, $k ^{2} < 9$ $- 3 < k < 3$ 따라서 정수 $k$ 는 $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$ 의 $5$ 개이다.