두 원이 접하게 하는 점의 개수 조건

실마리: 두 원이 접하는 조건을 중심 사이의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$에 대한 조건으로 바꾼 뒤, 그런 점 $\mathrm{P}$가 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25$ 위에 몇 개 있는지 센다. 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$가 외접하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = r + 3$, 내접하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \left| r - 3 \right|$이다. 원점을 $\mathrm{O}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \mathit{8}$이고 점 $\mathrm{P}$는 중심 $\mathrm{O}$, 반지름 $5$인 원 위의 점이므로 $\displaystyle 8 - 5 \leq \overline{\mathrm{AP}} \leq 8 + 5$, 곧 $\displaystyle 3 \leq \overline{\mathrm{AP}} \leq 13$ 양수 $k$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = k$인 점 $\mathrm{P}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25$ 와 중심이 $\mathrm{A}$, 반지름의 길이가 $k$인 원의 교점이므로 그 개수는 $3 < k < 13$이면 $2$, $k = 3$ 또는 $k = 13$이면 $1$, 그 밖이면 $0$ (ⅰ) 외접하는 점 $\mathrm{P}$의 개수: $k = r + 3$이므로 $0 < r < 10$이면 $2$, $r = 10$이면 $1$, $r > 10$이면 $0$ (ⅱ) 내접하는 점 $\mathrm{P}$의 개수: $k = \left| r - 3 \right|$이므로 $0 < r < 6$이면 $k < 3$이 되어 $0$, $r = 6$이면 $k = 3$이 되어 $1$, $6 < r < 16$이면 $2$, $r = 16$이면 $1$, $r > 16$이면 $0$ (ⅰ), (ⅱ)의 합이 $3$이 되는 것은 $r = 6$일 때 $2 + 1 = 3$, $r = 10$일 때 $1 + 2 = 3$ 뿐이다. ($0 < r < 6$이면 $2$, $6 < r < 10$이면 $4$, $10 < r < 16$이면 $2$, $r \geq 16$이면 $1$ 이하) $r = 6$일 때의 세 점은 그림과 같다. 따라서 모든 양수 $r$의 값의 합은 $6 + 10 = 16$ (검산: $r = 6$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \mathit{9}$인 점 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{P} _{2}$는 외접, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \mathit{3}$인 점 $\mathrm{P} _{3} ( 5 , 0 )$은 $6 - 3 = 3$으로 내접한다. $r = 10$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \mathit{13}$인 점 $( - 5 , 0 )$은 외접, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \mathit{7}$인 두 점은 내접한다.)