포물선과 y=x 대칭이동한 도형이 네 점에서 만날 조건

실마리: 두 도형은 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이므로 교점은 직선 $y = x$ 위에 있거나, $y = x$에 대하여 대칭인 두 점씩 짝을 이룬다. 대칭이동한 도형의 방정식은 $x = y ^{2} + k$이다. 두 식 $y = x ^{2} + k$, $x = y ^{2} + k$를 변끼리 빼면 $y - x = x ^{2} - y ^{2} = ( x - y ) ( x + y )$ $( x - y ) ( x + y + 1 ) = 0$ 즉 교점은 직선 $y = x$ 위에 있거나 직선 $x + y = - 1$ 위에 있다. (ⅰ) 직선 $y = x$ 위의 교점: $x = x ^{2} + k$, 즉 $x ^{2} - x + k = 0$의 실근이므로 서로 다른 두 개가 되려면 $1 - 4 k > 0$, 즉 $\displaystyle k < \frac{1}{4}$ (ⅱ) 직선 $x + y = - 1$ 위의 교점: $y = - x - 1$을 대입하면 $- x - 1 = x ^{2} + k$, 즉 $x ^{2} + x + k + 1 = 0$의 실근이므로 서로 다른 두 개가 되려면 $1 - 4 ( k + 1 ) > 0$, 즉 $\displaystyle k \leftarrow \frac{3}{4}$ 두 직선 $y = x$, $x + y = - 1$의 교점은 $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} \right)$ 하나뿐이고, (ⅱ)의 근이 이 점이 되는 것은 $\displaystyle k = - \frac{3}{4}$일 때뿐이므로 $\displaystyle k \leftarrow \frac{3}{4}$이면 (ⅰ), (ⅱ)의 네 점은 모두 서로 다르다. 따라서 서로 다른 네 점에서 만나는 조건은 $\displaystyle k \leftarrow \frac{3}{4}$이고, 정수 $k$의 최댓값은 $- 1$이다.

(확인) $k = - 1$이면 (ⅰ)에서 $x ^{2} - x - 1 = 0$의 두 근, (ⅱ)에서 $x ^{2} + x = 0$의 두 근 $x = 0$, $x = - 1$을 얻고 교점은 $( 0 , - 1 )$, $( - 1 , 0 )$과 $y = x$ 위의 두 점이다. 답은 ③이다.