두 원소의 합의 집합에서 원래 집합 찾기

실마리: $A$에서 두 원소를 고르는 방법은 $6$가지이고 $n ( S ) = 6$이므로 여섯 합은 모두 서로 다르다. 크기 순서로 어느 합이 어느 값인지 정한다. $a < b < c < d$이므로 $a + b < a + c < a + d < b + d < c + d$, $a + c < b + c < b + d$ 즉 가장 작은 합은 $a + b$, 둘째로 작은 합은 $a + c$, 가장 큰 합은 $c + d$, 둘째로 큰 합은 $b + d$이다. $S$의 원소를 크기 순서로 놓으면 $3 < 5 < 6 < 8 < 9 < 11$이므로 $a + b = 3$, $a + c = 5$, $b + d = 9$, $c + d = 11$ $a$, $b$가 자연수이고 $a < b$이므로 $a + b = 3$에서 $a = 1$, $b = 2$ $a + c = 5$에서 $c = 4$, $c + d = 11$에서 $d = 7$ 이때 $b + d = 9$이고, 남은 두 합은 $a + d = 8$, $b + c = 6$이므로 $S = \left\{ 3 , 5 , 6 , 8 , 9 , 11 \right\}$가 되어 조건에 맞는다. (검산: 각 원소는 여섯 합에 세 번씩 나타나므로 $3 ( a + b + c + d ) = 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 = 42$, 즉 $a + b + c + d = 14 = 1 + 2 + 4 + 7$) 따라서 $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2} = 1 + 4 + 16 + 49 = 70$