대칭이동한 네 직선으로 둘러싸인 마름모 안의 격자점

실마리: 네 직선으로 둘러싸인 영역은 $x$축, $y$축에 대하여 대칭이므로 절댓값 부등식 하나로 나타내고 $x$좌표별로 센다. 직선 $l : 3 x + 4 y = 12$를 $x$축, $y$축, 원점에 대하여 대칭이동한 직선은 각각 $3 x - 4 y = 12$, $- 3 x + 4 y = 12$, $- 3 x - 4 y = 12$ 네 직선은 두 축과 각각 점 $( 4 , 0 )$, $( - 4 , 0 )$, $( 0 , 3 )$, $( 0 , - 3 )$에서 만나므로 둘러싸인 사각형은 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 마름모이고, 그 내부 또는 경계는 $\left| 3 x \right| + \left| 4 y \right| \leq 12$ 로 나타난다. $x$좌표가 정수인 각 경우에 $\left| 4 y \right| \leq 12 - \left| 3 x \right|$를 만족시키는 정수 $y$의 개수를 세면 $x = 0$일 때 $\left| y \right| \leq 3$이므로 $7$개 $x = \pm 1$일 때 $\left| 4 y \right| \leq 9$, 즉 $\left| y \right| \leq 2$이므로 각 $5$개 $x = \pm 2$일 때 $\left| 4 y \right| \leq 6$, 즉 $\left| y \right| \leq 1$이므로 각 $3$개 $x = \pm 3$일 때 $\left| 4 y \right| \leq 3$, 즉 $y = 0$이므로 각 $1$개 $x = \pm 4$일 때 $\left| 4 y \right| \leq 0$, 즉 $y = 0$이므로 각 $1$개 따라서 구하는 점의 개수는 $7 + 2 \times ( 5 + 3 + 1 + 1 ) = 27$