수직인 두 직선다발의 교점 판정

실마리: 직선 $l$은 항상 원점 $\mathrm{O}$를, 직선 $m$은 항상 점 $\mathrm{A} ( 4 , 0 )$을 지난다. 교점 $\mathrm{P}$에서 두 정점을 보면 어떤 각이 생기는지 살핀다. ㄱ. 두 직선 $kx - y = 0$, $x + ky - 4 = 0$에서 $k \times 1 + ( - 1 ) \times k = 0$이므로 $k$의 값에 관계없이 서로 수직이다. (참) ㄴ. 점 $\mathrm{P}$가 $y$축 위에 있으면 $x = 0$이고, 이를 $kx - y = 0$에 대입하면 $y = 0$이므로 $\mathrm{P}$는 원점이다. 그런데 원점을 $x + ky - 4 = 0$에 대입하면 $- 4 = 0$이 되어 성립하지 않는다. 따라서 점 $\mathrm{P}$는 $y$축 위에 있을 수 없다. (거짓) ㄷ. 직선 $l$은 원점 $\mathrm{O}$를, 직선 $m$은 점 $\mathrm{A} ( 4 , 0 )$을 지나고 두 직선은 서로 수직이므로 $\mathrm{P}$가 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$와 다른 점이면 삼각형 $\mathrm{OPA}$는 각 $\mathrm{P}$가 직각인 직각삼각형이다. 점 $\mathrm{M} ( 2 , 0 )$은 빗변 $\mathrm{OA}$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} = 2$ $k = 0$이면 $\mathrm{P} = \mathrm{A}$이므로 이때도 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = 2$이다. ($\mathrm{P} = \mathrm{O}$인 경우는 ㄴ에서 보았듯이 없다.) (참) (다른 풀이) 두 식을 연립하면 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{4}{1 + k ^{2}} , \frac{4 k}{1 + k ^{2}} \right)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} ^{2} = \left( \frac{4}{1 + k ^{2}} - 2 \right) ^{2} + \left( \frac{4 k}{1 + k ^{2}} \right) ^{2} = \frac{( 2 - 2 k ^{2} ) ^{2} + 16 k ^{2}}{( 1 + k ^{2} ) ^{2}} = \frac{4 ( 1 + k ^{2} ) ^{2}}{( 1 + k ^{2} ) ^{2}} = 4$ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④