원이 되는 정수 순서쌍의 개수

원이 될 조건을 $a$, $b$ 에 대한 부등식으로 만든 뒤 좌표평면의 점 $( a , b )$ 로 본다. 주어진 방정식을 변형하면 $\left( x - a \right) ^{2} + \left( y - b \right) ^{2} = - a ^{2} - b ^{2} + 6 a + 4 b - 3$ 원이 되려면 우변이 양수이어야 하므로 $a ^{2} - 6 a + b ^{2} - 4 b + 3 < 0$ $\left( a - 3 \right) ^{2} + \left( b - 2 \right) ^{2} < 10$ $a - 3 = p$, $b - 2 = q$ 라 하면 정수 $p$, $q$ 에 대하여 $p ^{2} + q ^{2} < 10$, 즉 $p ^{2} + q ^{2} \leq 9$ 인 순서쌍 $( p , q )$ 의 개수를 세면 된다. $p = 0$ 일 때 $q ^{2} \leq 9$ 에서 $q$ 는 $- 3$ 부터 $3$ 까지 $7$ 개 $p = \pm 1$ 일 때 $q ^{2} \leq 8$ 에서 $q$ 는 $- 2$ 부터 $2$ 까지 각각 $5$ 개 $p = \pm 2$ 일 때 $q ^{2} \leq 5$ 에서 $q$ 는 $- 2$ 부터 $2$ 까지 각각 $5$ 개 $p = \pm 3$ 일 때 $q ^{2} \leq 0$ 에서 $q = 0$ 으로 각각 $1$ 개 따라서 순서쌍 $( a , b )$ 의 개수는 $7 + 10 + 10 + 2 = 29$