접선의 길이가 최소일 때 두 접점과 이루는 삼각형

접선의 길이는 원점까지의 거리로 정해지므로, 원점에서 직선에 내린 수선의 발이 구하는 점 $\mathrm{P}$ 이다. 원의 중심은 원점 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이는 $4$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}$ 가 수직이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = \overline{\mathrm{OP}} ^{2} - 16$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 가 최소일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}$ 도 최소이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 의 최솟값은 원점과 직선 $x + y - 8 = 0$ 사이의 거리 $\displaystyle \frac{\left| - 8 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = 4 \sqrt{2}$ 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{32 - 16} = 4$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{OB}} = 4$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}$ 가 수직이므로 사각형 $\mathrm{OAPB}$ 는 정사각형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}$ 도 수직이고 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{PA}} \times \overline{\mathrm{PB}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$