꺾인 도로 위 정류장의 위치

실마리: 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 모두 제$1$사분면에 있어 선분 $\mathrm{AB}$는 도로를 지나지 않는다. 정류장이 $x$축 위에 있는 경우와 $y$축 위에 있는 경우로 나누어 각각의 최솟값을 비교한다. (ⅰ) 정류장 $\mathrm{P}$가 $x$축 위에 있을 때 점 $\mathrm{A}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{1}$ 이라 하면 $\mathrm{A} _{1} ( 1 , - 2 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{A} _{1} P} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A} _{1} B} = \sqrt{( 7 - 1 ) ^{2} + ( k + 2 ) ^{2}} = \sqrt{36 + ( k + 2 ) ^{2}}$ 직선 $\mathrm{A} _{1} B$는 $x$축과 $x > 0$인 점에서 만나므로 등호가 성립하는 점 $\mathrm{P} _{1}$ 은 도로 위에 있다. (ⅱ) 정류장 $\mathrm{P}$가 $y$축 위에 있을 때 점 $\mathrm{A}$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{2}$ 라 하면 $\mathrm{A} _{2} ( - 1 , 2 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{A} _{2} P} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A} _{2} B} = \sqrt{( 7 + 1 ) ^{2} + ( k - 2 ) ^{2}} = \sqrt{64 + ( k - 2 ) ^{2}}$ 직선 $\mathrm{A} _{2} B$는 $y$축과 $y > 0$인 점에서 만나므로 등호가 성립하는 점 $\mathrm{P} _{2}$ 는 도로 위에 있다. 정류장이 $y$축 위에 놓이려면 (ⅱ)의 최솟값이 (ⅰ)의 최솟값보다 작아야 하므로 $64 + ( k - 2 ) ^{2} < 36 + ( k + 2 ) ^{2}$ $64 - 4 k < 36 + 4 k$ $8 k > 28$, $\displaystyle k > \frac{7}{2}$ $k = 4$이면 (ⅰ)의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{72}$, (ⅱ)의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{68}$이므로 정류장은 $y$축 위에 놓이고, $k = 3$이면 각각 $\displaystyle \sqrt{61}$, $\displaystyle \sqrt{65}$이므로 $x$축 위에 놓인다. 따라서 구하는 자연수 $k$의 최솟값은 $4$