세 점을 원점이 중심인 원 위로 옮기는 평행이동

실마리: 옮겨진 세 점이 모두 원점에서 거리가 $r$이려면, 원점을 거꾸로 옮긴 점 $\mathrm{M} \mathit{(} - a , - b )$가 원래 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에서 같은 거리에 있어야 한다. 평행이동한 세 점은 $\mathrm{A}' \mathit{(} 6 + a , 6 + b )$, $\mathrm{B}' \mathit{(} - 2 + a , 2 + b )$, $\mathrm{C}' \mathit{(} 7 + a , - 1 + b )$ 세 점이 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위에 있으므로 $( 6 + a ) ^{2} + ( 6 + b ) ^{2} = ( a - 2 ) ^{2} + ( b + 2 ) ^{2} = ( 7 + a ) ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} = r ^{2}$ $( 6 + a ) ^{2} + ( 6 + b ) ^{2} = ( a - 2 ) ^{2} + ( b + 2 ) ^{2}$을 정리하면 $16 a + 8 b + 64 = 0$, 곧 $2 a + b = - 8$ ……㉠ $( a - 2 ) ^{2} + ( b + 2 ) ^{2} = ( 7 + a ) ^{2} + ( b - 1 ) ^{2}$을 정리하면 $- 18 a + 6 b - 42 = 0$, 곧 $3 a - b = - 7$ ……㉡ ㉠$+$㉡에서 $5 a = - 15$, $a = - 3$이고 ㉠에서 $b = - 2$ 이때 $r ^{2} = ( 6 - 3 ) ^{2} + ( 6 - 2 ) ^{2} = 9 + 16 = 25$ (검산) 점 $\mathrm{M} \mathit{(} 3 , 2 )$에서 세 점까지의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{MA}} = \sqrt{9 + 16} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MB}} = \sqrt{25 + 0} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MC}} = \sqrt{16 + 9} = 5$로 모두 같다. 곧 점 $\mathrm{M}$을 원점으로 옮기는 평행이동이 $x$축의 방향으로 $- 3$만큼, $y$축의 방향으로 $- 2$만큼이다. 따라서 $a + b + r ^{2} = - 3 + ( - 2 ) + 25 = 20$