규칙 이동이 멈추는 점이 정해진 출발점의 개수

[실마리] 규칙 Ⅱ를 두 번 하면 어떤 이동이 되는지 먼저 본다. 규칙 Ⅱ에 의하여 점 $( x , y )$는 $( y - 1 , x )$로 이동한다. $x > 0$, $y > 0$인 점에서 규칙 Ⅱ를 두 번 하면 $( x , y ) \rightarrow ( y - 1 , x ) \rightarrow ( x - 1 , y - 1 )$ 즉 두 번 이동하면 $x$좌표와 $y$좌표가 각각 $1$씩 작아진다. 예를 들어 $( 2 , 5 )$에서 출발하면 다음 그림과 같이 이동한다. (ⅰ) $a < b$일 때 $2 a$번 이동하면 $( 0 , b - a )$가 되고, $b - a > 0$이므로 한 번 더 이동하여 $( b - a - 1 , 0 )$에서 멈춘다. $b - a - 1 = 2$에서 $b = a + 3$이므로 $( a , b )$는 $( 1 , 4 )$, $( 2 , 5 )$, $\cdots$, $( 7 , 10 )$의 $7$개 (ⅱ) $a = b$일 때 $2 a - 2$번 이동하면 $( 1 , 1 )$이 되고, $( 1 , 1 ) \rightarrow ( 0 , 1 ) \rightarrow ( 0 , 0 )$에서 멈춘다. $\mathrm{B} \mathit{(} 0 , 0 )$이므로 조건에 맞지 않는다. (ⅲ) $a > b$일 때 $2 b$번 이동하면 $( a - b , 0 )$이 되어 멈춘다. $a - b = 2$에서 $a = b + 2$이므로 $( a , b )$는 $( 3 , 1 )$, $( 4 , 2 )$, $\cdots$, $( 10 , 8 )$의 $8$개 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $7 + 8 = 15$