공통현이 항상 지나는 점과 현의 길이의 최솟값

공통현의 방정식을 $t$ 에 대하여 정리하면 $t$ 의 값에 관계없이 지나는 점이 보인다. 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 $( x ^{2} + y ^{2} - 10 ) - ( x ^{2} + y ^{2} - 2 tx - 2 ( 4 - t ) y + 6 ) = 0$ $2 tx + 2 ( 4 - t ) y - 16 = 0$ $t ( x - y ) + 4 y - 8 = 0$ 이 직선이 직선 $\mathrm{AB}$ 이다. 이 식이 $t$ 의 값에 관계없이 성립하는 점은 $x - y = 0$, $4 y - 8 = 0$ 에서 $\mathrm{P} ( 2 , 2 )$ 이다. 즉 직선 $\mathrm{AB}$ 는 $t$ 의 값에 관계없이 항상 점 $\mathrm{P} ( 2 , 2 )$ 를 지난다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{2} < \sqrt{10}$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 는 원 $C _{1}$ 의 내부에 있다. 원 $C _{1}$ 의 현 $\mathrm{AB}$ 가 점 $\mathrm{P}$ 를 지나므로, 원점 $\mathrm{O}$ 에서 직선 $\mathrm{AB}$ 까지의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 이하이고 그 거리가 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 일 때, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 가 수직일 때 현의 길이가 최소이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} \geq 2 \sqrt{10 - 8} = 2 \sqrt{2}$ 이때 직선 $\mathrm{AB}$ 의 기울기는 $- 1$ 이고 점 $\mathrm{P}$ 를 지나므로 $x + y - 4 = 0$ 이며, $t = 2$ 일 때 $2 ( x - y ) + 4 y - 8 = 0$, 즉 $x + y - 4 = 0$ 이 되어 실제로 이러한 $t$ 가 존재한다. 따라서 $\displaystyle m = 2 \sqrt{2}$ 이므로 $m ^{2} = 8$