두 공통접선의 길이와 넓이의 합으로 중심거리 구하기

실마리: 공통외접선과 공통내접선의 길이를 각각 중심거리와 두 반지름으로 나타낸 뒤, 두 식을 빼서 중심거리를 없앤다. 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$의 반지름의 길이를 각각 $r _{1}$, $r _{2}$ ($r _{1} < r _{2}$), $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = d$라 하자. 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 사각형 $\mathrm{APQH}$는 직사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{PQ}} = \mathit{24}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = r _{2} - r _{1}$ 점 $\mathrm{B}$를 지나고 직선 $\mathrm{RS}$에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{AR}$와 만나는 점을 $\mathrm{K}$라 하면 사각형 $\mathrm{RSBK}$는 직사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BK}} = \overline{\mathrm{RS}} = \mathit{10}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AK}} = r _{1} + r _{2}$ 두 직각삼각형 $\mathrm{ABH}$, $\mathrm{ABK}$에서 $d ^{2} = 24 ^{2} + ( r _{2} - r _{1} ) ^{2}$ …… ㉠ $d ^{2} = 10 ^{2} + ( r _{1} + r _{2} ) ^{2}$ …… ㉡ ㉠에서 ㉡을 빼면 $( r _{1} + r _{2} ) ^{2} - ( r _{2} - r _{1} ) ^{2} = 576 - 100$ $4 r _{1} r _{2} = 476$, 곧 $r _{1} r _{2} = 119$ 두 원의 넓이의 합이 $338 \pi$이므로 $r _{1} ^{2} + r _{2} ^{2} = 338$ $( r _{1} + r _{2} ) ^{2} = 338 + 2 \times 119 = 576$ $r _{1} + r _{2} = 24$ ㉡에서 $d ^{2} = 100 + 576 = 676$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = d = 26$ (검산: $r _{1} + r _{2} = 24$, $r _{1} r _{2} = 119$에서 $r _{1} = 7$, $r _{2} = 17$이고 ㉠은 $576 + 100 = 676$으로 맞는다. 또 $26 > 24$이므로 두 원은 서로 밖에 있다.)