원 밖의 점을 지나는 직선이 만드는 현의 중점 판정

실마리: 현 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\mathrm{M}$에 대하여 선분 $\mathrm{OM}$은 현 $\mathrm{PQ}$에 수직이므로 $\mathrm{\angle} OMA = 90 ^\circ$이다. ㄱ. 직선의 방정식은 $y = m ( x - 4 )$, 곧 $mx - y - 4 m = 0$ 원 $C$와 서로 다른 두 점에서 만나려면 원의 중심 $\mathrm{O}$와 직선 사이의 거리가 반지름의 길이 $2$보다 작아야 하므로 $\displaystyle \frac{\left| - 4 m \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} < 2$, $16 m ^{2} < 4 m ^{2} + 4$, $\displaystyle m ^{2} < \frac{1}{3}$ 따라서 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3} < m < \frac{\sqrt{3}}{3}$ (참) ㄴ. $\mathrm{\angle} OMA = 90 ^\circ$이므로 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{OA}$를 지름으로 하는 원 $( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} = 4$ 위에 있다. 이 원의 중심을 $\mathrm{D} \mathit{(} 2 , 0 )$이라 하고 두 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$, $( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} = 4$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} 1 , \sqrt{3} )$, $\displaystyle \mathrm{F} \mathit{(} 1 , - \sqrt{3} )$이라 하자. 점 $\mathrm{M}$은 원 $C$의 내부에 있어야 하므로 점 $\mathrm{M}$이 나타내는 도형은 원 $( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} = 4$ 중 원 $C$의 내부에 있는 호 $\mathrm{EOF}$이다. 삼각형 $\mathrm{ODE}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} = \overline{\mathrm{DE}} = \overline{\mathrm{EO}} = \mathit{2}$인 정삼각형이므로 $\mathrm{\angle} ODE = 60 ^\circ$이고 $\mathrm{\angle} EDF = 120 ^\circ$ 따라서 호 $\mathrm{EOF}$의 길이는 $\displaystyle 2 \pi \times 2 \times \frac{120}{360} = \frac{4}{3} \pi$ (거짓) ㄷ. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AM}} - \overline{\mathrm{MP}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = \overline{\mathrm{AM}} + \overline{\mathrm{MP}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} \times \overline{\mathrm{AQ}} = \overline{\mathrm{AM}} ^{2} - \overline{\mathrm{MP}} ^{2}$ 직각삼각형 $\mathrm{OMA}$, $\mathrm{OMP}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} ^{2} = \overline{\mathrm{OA}} ^{2} - \overline{\mathrm{OM}} ^{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MP}} ^{2} = \overline{\mathrm{OP}} ^{2} - \overline{\mathrm{OM}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} \times \overline{\mathrm{AQ}} = \overline{\mathrm{OA}} ^{2} - \overline{\mathrm{OP}} ^{2} = 16 - 4 = 12$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③