두 평행선을 수직으로 건너는 최단 경로

선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는 두 평행선 사이의 거리로 일정하므로, 점 $\mathrm{B}$를 $\mathrm{P}$에서 $\mathrm{Q}$로 가는 만큼 평행이동하여 나머지 두 선분을 한 줄로 편다. 두 직선 $l$, $m$ 사이의 거리는 직선 $l$ 위의 원점과 직선 $m$ 사이의 거리이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \frac{| - 25 |}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}} = 5$ 선분 $\mathrm{PQ}$는 직선 $l$에 수직이고 길이가 $5$이므로, 점 $\mathrm{P}$를 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하면 점 $\mathrm{Q}$가 된다. (직선 $m$은 직선 $l$을 이만큼 평행이동한 것이다.) 점 $\mathrm{B} \mathit{(} - 5 , - 6 )$을 같은 방향으로 평행이동한 점을 $\mathrm{B}' \mathit{(} - 2 , - 2 )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{QB}'}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{QB}'} \geq \overline{\mathrm{AB}'}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}'} = \sqrt{( 6 + 2 ) ^{2} + ( 4 + 2 ) ^{2}} = 10$ 등호는 점 $\mathrm{Q}$가 선분 $\mathrm{AB}'$과 직선 $m$의 교점일 때 성립한다. 점 $\mathrm{A}$는 직선 $m$의 위쪽($3 \times 6 + 4 \times 4 - 25 > 0$)에, 점 $\mathrm{B}'$은 아래쪽($3 \times ( - 2 ) + 4 \times ( - 2 ) - 25 < 0$)에 있으므로 그런 점 $\mathrm{Q}$가 선분 $\mathrm{AB}'$ 위에 실제로 있다. 따라서 구하는 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}'} + \overline{\mathrm{PQ}} = 10 + 5 = 15$