정수 좌표의 벤치 두 개를 지나는 직선 산책로

실마리: 산책로는 원과 최대 두 점에서 만나므로, 원 위의 정수 좌표인 두 점을 지나는 기울기가 $2$인 직선을 모두 찾으면 된다. $x ^{2} + y ^{2} = 25$를 만족시키는 정수 $x$, $y$는 $( 0 , \pm 5 )$, $( \pm 5 , 0 )$, $( \pm 3 , \pm 4 )$, $( \pm 4 , \pm 3 )$ (복호 임의)의 $12$개이다. 이 중 두 점을 지나는 직선의 기울기가 $2$가 되려면 두 점의 $y$좌표의 차가 $x$좌표의 차의 $2$배이어야 한다. $x$좌표의 차가 $2$, $y$좌표의 차가 $4$인 쌍: $( - 5 , 0 )$과 $( - 3 , 4 )$, $( 3 , - 4 )$와 $( 5 , 0 )$ $x$좌표의 차가 $4$, $y$좌표의 차가 $8$인 쌍: $( 0 , - 5 )$와 $( 4 , 3 )$, $( - 4 , - 3 )$과 $( 0 , 5 )$ 두 점의 $y$좌표의 차는 $10$ 이하이므로 $x$좌표의 차는 $5$ 이하이어야 하고, $x$좌표의 차가 $1$, $3$, $5$인 쌍 중 $y$좌표의 차가 각각 $2$, $6$, $10$인 것은 없다. 따라서 조건을 만족시키는 직선은 네 개이고, $k = y - 2 x$에 각 점을 대입하면 $k = 10$, $k = - 10$, $k = - 5$, $k = 5$ 이 직선들은 각각 원과 서로 다른 두 점에서 만나므로 지나는 벤치는 정확히 두 개이다. 따라서 구하는 값은 $10 ^{2} + ( - 10 ) ^{2} + ( - 5 ) ^{2} + 5 ^{2} = 250$