정점을 지나는 두 평행선 사이 거리의 최댓값

두 직선이 각각 항상 지나는 점을 찾으면, 두 평행선 사이의 거리는 그 두 점 사이의 거리를 넘을 수 없다. 두 직선은 $x$, $y$의 계수가 같으므로 $k$의 값에 관계없이 서로 평행하다. $l$: $k ( x - 2 ) - ( y - 1 ) = 0$이므로 $l$은 $k$의 값에 관계없이 점 $\mathrm{P} \mathit{(} 2 , 1 )$을 지난다. $m$: $k ( x + 1 ) - ( y + 3 ) = 0$이므로 $m$은 $k$의 값에 관계없이 점 $\mathrm{Q} \mathit{(} - 1 , - 3 )$을 지난다. 점 $\mathrm{P}$는 $l$ 위에, 점 $\mathrm{Q}$는 $m$ 위에 있으므로 두 직선 사이의 거리는 점 $\mathrm{P}$와 직선 $m$ 사이의 거리와 같고, 이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$ 이하이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{( 2 + 1 ) ^{2} + ( 1 + 3 ) ^{2}} = 5$ 등호는 직선 $\mathrm{PQ}$가 두 직선에 수직일 때 성립한다. 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 이는 $\displaystyle k = - \frac{3}{4}$일 때이다. 따라서 두 직선 사이의 거리의 최댓값은 $5$ 검산: 두 직선 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| ( - 2 k + 1 ) - ( k - 3 ) |}{\sqrt{k ^{2} + 1}} = \frac{| 4 - 3 k |}{\sqrt{k ^{2} + 1}}$이고, $( 4 - 3 k ) ^{2} \leq ( 4 ^{2} + 3 ^{2} ) ( 1 + k ^{2} )$에서 이 값은 $5$ 이하이다.