대칭이동한 두 점 사이의 거리가 자연수인 경우

실마리: 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$는 원점에 대하여 서로 대칭이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = 2 \overline{\mathrm{OP}}$이다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b )$라 하면 $\mathrm{Q} ( a , - b )$, $\mathrm{R} ( - a , b )$이므로 원점 $\mathrm{O}$는 선분 $\mathrm{QR}$의 중점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = 2 \overline{\mathrm{OQ}} = 2 \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = 2 \overline{\mathrm{OP}}$ 원의 중심을 $\mathrm{C} ( 3 , 4 )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = 5$이고 반지름의 길이는 $2$이므로 점 $\mathrm{P}$가 원 위를 움직일 때 $\displaystyle 3 \leq \overline{\mathrm{OP}} \leq 7$, 즉 $\displaystyle 6 \leq \overline{\mathrm{QR}} \leq 14$

$\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$가 자연수 $n$이 되는 것은 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \frac{n}{2}$일 때이고, 이는 점 $\mathrm{P}$가 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{n}{2}$인 원과 주어진 원의 교점일 때이다. $n = 6$일 때 두 원은 외접하고, $n = 14$일 때 두 원은 내접하므로 점 $\mathrm{P}$는 각각 $1$개 $n = 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13$일 때 두 원은 서로 다른 두 점에서 만나므로 점 $\mathrm{P}$는 각 $2$개 따라서 구하는 점 $\mathrm{P}$의 개수는 $1 + 1 + 7 \times 2 = 16$