두 교점과 두 중심을 지나는 원

실마리: 네 점을 지나는 원은 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나므로 두 원의 교점을 지나는 원의 꼴로 두고, 두 중심 $\mathrm{O}$, $\mathrm{C}$를 대입한다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 원의 방정식은 $\left( x ^{2} + y ^{2} - 16 \right) + k \left\{ \left( x - a \right) ^{2} + \left( y - b \right) ^{2} - 9 \right\} = 0$ (단, $k \ne - 1$) 이 원이 원점 $\mathrm{O}$를 지나므로 $- 16 + k \left( a ^{2} + b ^{2} - 9 \right) = 0$ …… ㉠ 점 $\mathrm{C} ( a , b )$를 지나므로 $a ^{2} + b ^{2} - 16 - 9 k = 0$ …… ㉡ $a ^{2} + b ^{2} = m$이라 하면 ㉡에서 $\displaystyle k = \frac{m - 16}{9}$ ㉠에 대입하면 $\displaystyle - 16 + \frac{\left( m - 16 \right) \left( m - 9 \right)}{9} = 0$ $m ^{2} - 25 m + 144 = 144$, $m \left( m - 25 \right) = 0$ $m > 0$이므로 $m = a ^{2} + b ^{2} = 25$이고 $k = 1$ $k = 1$을 대입하여 정리하면 $2 x ^{2} + 2 y ^{2} - 2 ax - 2 by + a ^{2} + b ^{2} - 25 = 0$ $x ^{2} + y ^{2} - ax - by = 0$ $\displaystyle \left( x - \frac{a}{2} \right) ^{2} + \left( y - \frac{b}{2} \right) ^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4} = \frac{25}{4}$ 즉 네 점을 지나는 원은 선분 $\mathrm{OC}$를 지름으로 하는 원이고 $\displaystyle S = \frac{25}{4} \pi$ (검산: $a ^{2} + b ^{2} = 25$이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \mathit{5}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \mathit{4}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \mathit{3}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} ^{2} + \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = \overline{\mathrm{OC}} ^{2}$이다. 즉 각 $\mathrm{OAC}$가 직각이므로 선분 $\mathrm{OC}$는 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$를 지나는 원의 지름이고, 마찬가지로 각 $\mathrm{OBC}$도 직각이므로 점 $\mathrm{B}$도 이 원 위에 있다.) 따라서 $\displaystyle \frac{4 S}{\pi} = 25$