공통수학2집합AI킬러 문제 (22·30번 수준)

5와 7의 덧셈으로 닫힌 집합의 원소 개수

문제

집합 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 50 \right\}$ 의 부분집합 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $5 \in X$ , $7 \in X$ (나) $x \in X$ , $y \in X$ 이고 $x + y \in U$ 이면 $x + y \in X$ 이다. (다) 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 $X$ 의 진부분집합은 없다.

$n ( X )$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

실마리: $X$ 는 $5$ 와 $7$ 을 더하여 만들 수 있는 $50$ 이하의 수 전체의 집합이고, 연속한 다섯 수가 $X$ 에 들면 그보다 큰 수는 모두 $X$ 에 든다. 조건 (가), (나)에 의하여 $5 a + 7 b$ ( $a$ , $b$ 는 음이 아닌 정수이고 $a + b \geq 1$ ) 꼴로 나타낼 수 있는 $50$ 이하의 자연수는 모두 $X$ 의 원소이다. 거꾸로 이런 수 전체의 집합은 조건 (가), (나)를 만족시키므로 조건 (다)에 의하여 $X$ 는 이 집합과 같다. $23$ 이하의 자연수 중 $5 a + 7 b$ 꼴인 것은 $5 , 7 , 10 , 12 , 14 , 15 , 17 , 19 , 20 , 21 , 22$ 의 $11$ 개이다. $24 = 10 + 14$ , $25 = 5 + 20$ , $26 = 5 + 21$ , $27 = 15 + 12$ , $28 = 7 + 21$ 이므로 연속한 다섯 수 $24 , 25 , 26 , 27 , 28$ 은 모두 $X$ 의 원소이다. $29$ 이상 $50$ 이하의 수는 이 다섯 수 중 하나에 $5$ 를 몇 번 더한 것이므로 모두 $X$ 의 원소이다. $24$ 이상 $50$ 이하의 자연수는 $27$ 개이다. 따라서 $n ( X ) = 11 + 27 = 38$ 이다.

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