포물선과 y=x 대칭이동한 도형 위의 두 점 사이 거리의 최솟값

실마리: 포물선은 직선 $y = x$의 한쪽에만 있으므로 선분 $\mathrm{AB}$는 직선 $y = x$와 만나고, 두 점에서 $y = x$까지의 거리로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$를 아래에서 누를 수 있다. 포물선 위의 점 $\mathrm{A} ( t , t ^{2} - t + 3 )$에 대하여 $( t ^{2} - t + 3 ) - t = t ^{2} - 2 t + 3 = ( t - 1 ) ^{2} + 2 > 0$ 이므로 포물선은 직선 $y = x$보다 위쪽에 있고, 대칭이동한 도형은 직선 $y = x$보다 아래쪽에 있다. 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $y = x$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{( t - 1 ) ^{2} + 2}{\sqrt{2}} \geq \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ 이고 등호는 $t = 1$, 즉 $\mathrm{A} ( 1 , 3 )$일 때 성립한다. 대칭이동한 도형 위의 점 $\mathrm{B}$에서 직선 $y = x$까지의 거리의 최솟값도 $\displaystyle \sqrt{2}$이고, 등호는 $\mathrm{B} ( 3 , 1 )$일 때 성립한다.

점 $\mathrm{A}$는 직선 $y = x$의 위쪽, 점 $\mathrm{B}$는 아래쪽에 있으므로 선분 $\mathrm{AB}$는 직선 $y = x$와 한 점 $\mathrm{H}$에서 만난다. 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $y = x$까지의 거리를 각각 $d _{1}$, $d _{2}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AH}} + \overline{\mathrm{HB}} \geq d _{1} + d _{2} \geq \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ 등호는 $\mathrm{A} ( 1 , 3 )$, $\mathrm{B} ( 3 , 1 )$일 때 성립하고 실제로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$이다. 따라서 $\displaystyle m = 2 \sqrt{2}$이므로 $m ^{2} = 8$