원소를 3배한 약수 집합과 합집합의 합

실마리: 집합 $B$의 원소는 집합 $A$의 각 원소의 $3$배이므로, $B$의 모든 원소의 합은 $A$의 모든 원소의 합의 $3$배이다. 집합 $X$의 모든 원소의 합을 $S ( X )$라 하면 $S ( B ) = 3 S ( A )$ $S ( A \cup B ) = S ( A ) + S ( B ) - S ( A \cap B )$이므로 $91 = S ( A ) + 3 S ( A ) - 21$ $4 S ( A ) = 112$, $S ( A ) = 28$ 즉 $n$의 양의 약수의 합이 $28$이다. $n \in A$이므로 $n \leq 27$이고, $n$이 소수이면 $1 + n = 28$에서 $n = 27$이 되어 모순이다. $n = pq$ ($p < q$인 소수) 꼴이면 $( 1 + p ) ( 1 + q ) = 28 = 4 \times 7$에서 $q = 6$이 되어 모순이다. $n = p ^{2} q$ ($p , q$는 서로 다른 소수) 꼴이면 $( 1 + p + p ^{2} ) ( 1 + q ) = 28$에서 $1 + p + p ^{2} = 7$, $1 + q = 4$이므로 $p = 2$, $q = 3$, 즉 $n = 12$ 그 밖의 합성수 $n \leq 27$은 $4 , 8 , 9 , 16 , 25 , 27 , 24$이고 양의 약수의 합이 각각 $7 , 15 , 13 , 31 , 31 , 40 , 60$이므로 조건을 만족시키지 않는다. 실제로 $n = 12$이면 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 \right\}$, $B = \left\{ 3 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36 \right\}$ $A \cap B = \left\{ 3 , 6 , 12 \right\}$, $A \cup B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36 \right\}$ 이므로 $S ( A \cap B ) = 21$, $S ( A \cup B ) = 91$이다. 따라서 $n = 12$