계수가 뒤바뀐 두 이차방정식의 포함 관계

실마리: 집합 $A$의 원소는 집합 $B$의 원소이기도 하므로 두 방정식을 동시에 만족시킨다. 두 식을 빼면 그 원소가 정해진다. $A \ne \emptyset$이므로 집합 $A$의 원소 $r$를 하나 잡으면 $A \subset B$에서 $r \in B$이다. 즉 $r ^{2} + ar + b = 0$, $r ^{2} + br + a = 0$ 두 식을 변끼리 빼면 $( a - b ) r + ( b - a ) = 0$, $( a - b ) ( r - 1 ) = 0$ $a \ne b$이므로 $r = 1$ 즉 집합 $A$의 원소는 $1$뿐이므로 $A = \left\{ 1 \right\}$이고, 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$은 $x = 1$을 중근으로 갖는다. $x ^{2} + ax + b = ( x - 1 ) ^{2} = x ^{2} - 2 x + 1$에서 $a = - 2$, $b = 1$ 이때 $x ^{2} + bx + a = x ^{2} + x - 2 = ( x + 2 ) ( x - 1 )$이므로 $B = \left\{ - 2 , 1 \right\}$이고 $A \subset B$, $a \ne b$를 만족시킨다. 따라서 $b - a = 1 - ( - 2 ) = 3$