평행이동한 직선이 원에서 만드는 삼각형의 넓이 최대

실마리: $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{10}$으로 일정하므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 두 변 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$의 사잇각으로 정해진다. 직선 $y = 2 x$를 $y$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 직선은 $y = 2 x + k$, 즉 $2 x - y + k = 0$ 각 $\mathrm{AOB}$의 크기를 $\theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{10} \times \sin \theta = 5 \sin \theta$ 이므로 $\sin \theta = 1$, 즉 각 $\mathrm{AOB}$가 직각일 때 최대이고 최댓값은 $5$이다.

각 $\mathrm{AOB}$가 직각이면 삼각형 $\mathrm{OAB}$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2} \overline{\mathrm{OA}} = 2 \sqrt{5}$이고, 원점에서 직선 $\mathrm{AB}$까지의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 중점 $\mathrm{M}$까지의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{5}$ 원점과 직선 $2 x - y + k = 0$ 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{4 + 1}} = \sqrt{5}$, $\left| k \right| = 5$ $k > 0$이므로 $k = 5$ (다른 풀이) 원점과 직선 사이의 거리를 $\displaystyle d ( 0 < d < \sqrt{10} )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{10 - d ^{2}}$이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{10 - d ^{2}} \times d = \sqrt{d ^{2} ( 10 - d ^{2} )} \leq \frac{d ^{2} + ( 10 - d ^{2} )}{2} = 5$ 등호는 $d ^{2} = 10 - d ^{2}$, 즉 $\displaystyle d = \sqrt{5}$일 때 성립하고 $\displaystyle d = \frac{k}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$에서 $k = 5$ 따라서 $k = 5$