외접원의 중심이 정수 좌표가 되는 조건

실마리: 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 $y$축에 대하여 대칭이므로 중심은 $y$축 위에 있다. 중심의 $y$좌표를 $c$로 나타내고 정수가 되는 조건을 약수로 푼다. 중심을 $( 0 , k )$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$까지의 거리가 같으므로 $4 ^{2} + k ^{2} = ( c - k ) ^{2}$ $16 + k ^{2} = c ^{2} - 2 ck + k ^{2}$에서 $2 ck = c ^{2} - 16$ $k$가 정수이면 좌변 $2 ck$는 $c$의 배수이므로 우변 $c ^{2} - 16$도 $c$의 배수이고, 따라서 $16$이 $c$의 배수이다. 즉 $c$는 $16$의 약수 $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ 중 하나이다. $\displaystyle k = \frac{c ^{2} - 16}{2 c}$에 각각 대입하면 $c = 1$: $\displaystyle k = - \frac{15}{2}$ (정수 아님), $c = 2$: $k = - 3$, $c = 4$: $k = 0$, $c = 8$: $k = 3$, $c = 16$: $\displaystyle k = \frac{15}{2}$ (정수 아님) 따라서 조건을 만족시키는 $c$는 $2$, $4$, $8$이다. (검산) $c = 2$: 중심 $( 0 , - 3 )$, 반지름 $5$인 원은 $( 0 , 2 )$를 지난다. $c = 4$: 중심 $( 0 , 0 )$, 반지름 $4$인 원은 $( 0 , 4 )$를 지난다. $c = 8$: 중심 $( 0 , 3 )$, 반지름 $5$인 원은 $( 0 , 8 )$을 지난다. 따라서 모든 $c$의 값의 합은 $2 + 4 + 8 = 14$