교점을 지나는 원과 x축의 교점의 x좌표

실마리: 원 $C$는 하나로 정해지지 않으므로, 구하는 값이 원을 정하는 상수 $k$에 관계없이 일정함을 보인다. 원 $C$의 방정식은 $\left( x ^{2} + y ^{2} - 25 \right) + k \left( x ^{2} + y ^{2} - 10 x - 10 y + 45 \right) = 0$ (단, $k \ne - 1$) $y = 0$을 대입하면 $\left( 1 + k \right) x ^{2} - 10 kx + 45 k - 25 = 0$ 이 이차방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{10 k}{1 + k}$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{45 k - 25}{1 + k}$ $\left( 7 - \alpha \right) \left( 7 - \beta \right) = 49 - 7 \left( \alpha + \beta \right) + \alpha \beta$ $\displaystyle = \frac{49 \left( 1 + k \right) - 70 k + 45 k - 25}{1 + k}$ $\displaystyle = \frac{24 + 24 k}{1 + k} = 24$ (검산: 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 두 교점을 지나는 직선은 $x + y = 7$이고 점 $\mathrm{P} ( 7 , 0 )$은 이 직선 위에 있다. 두 교점은 $\mathrm{A} ( 3 , 4 )$, $\mathrm{B} ( 4 , 3 )$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \mathit{4} \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = \mathit{3} \sqrt{2}$이고, 원 $C$에서 원과 비례의 성질에 의하여 $\displaystyle \left( 7 - \alpha \right) \left( 7 - \beta \right) = \overline{\mathrm{PA}} \times \overline{\mathrm{PB}} = 4 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2} = 24$이다.) 따라서 구하는 값은 $24$