두 점의 대칭점이 모두 x축 위에 있을 때

실마리: 직선 $\mathrm{AB}$ 위의 두 점이 $x$축 위로 옮겨지므로 이 대칭이동은 직선 $\mathrm{AB}$를 $x$축으로 옮긴다. 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - 6}{4 - 0} = - \frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{AB} : y = - \frac{3}{4} x + 6$이고, $x$축과의 교점은 $\mathrm{I} ( 8 , 0 )$이다. 대칭이동을 두 번 하면 제자리로 돌아오므로 이 대칭이동은 $x$축을 다시 직선 $\mathrm{AB}$로 옮긴다. 따라서 직선 $\mathrm{AB}$와 $x$축의 교점 $\mathrm{I}$는 $x$축과 직선 $\mathrm{AB}$의 교점, 즉 자기 자신으로 옮겨진다. 자기 자신으로 옮겨지는 점은 대칭축 위의 점이므로 직선 $y = ax + b$는 점 $\mathrm{I}$를 지난다. 점 $\mathrm{A}$의 대칭점을 $\mathrm{A} _{1} ( p , 0 )$이라 하면 대칭축 위의 점 $\mathrm{I}$에서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{A} _{1}$까지의 거리는 같으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{IA} _{1}} = \overline{\mathrm{IA}} = \sqrt{8 ^{2} + 6 ^{2}} = 10$ $\left| p - 8 \right| = 10$에서 $p = 18$ 또는 $p = - 2$ 실제로 $p = 18$이면 대칭축은 선분 $\mathrm{AA} _{1}$의 수직이등분선 $l _{2} : y = 3 x - 24$, $p = - 2$이면 $\displaystyle l _{1} : y = - \frac{1}{3} x + \frac{8}{3}$이고, 두 직선은 모두 점 $\mathrm{I}$를 지나므로 직선 $\mathrm{AB}$를 직선 $\mathrm{IA} _{1}$, 즉 $x$축으로 옮긴다. 따라서 점 $\mathrm{B}$의 대칭점도 $x$축 위에 있다. 따라서 구하는 모든 값의 합은 $18 + ( - 2 ) = 16$ [다른 풀이] 대칭축은 직선 $\mathrm{AB}$와 $x$축이 이루는 각의 이등분선이므로 그 위의 점 $( x , y )$는 두 직선 $3 x + 4 y - 24 = 0$, $y = 0$에서 같은 거리에 있다. $\displaystyle \frac{\left| 3 x + 4 y - 24 \right|}{5} = \left| y \right|$에서 $3 x + 4 y - 24 = \pm 5 y$ 즉 $y = 3 x - 24$ 또는 $\displaystyle y = - \frac{1}{3} x + \frac{8}{3}$ 점 $\mathrm{A} ( 0 , 6 )$을 각각 대칭이동하면 $( 18 , 0 )$, $( - 2 , 0 )$이므로 합은 $16$이다.