두 직선 위를 움직이는 삼각형 둘레의 최솟값

점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = 2 x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{2}$, $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{1}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A} _{2} \mathrm{P}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = \overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{Q}}$이므로 둘레의 길이는 꺾은선 $\mathrm{A} _{2} \mathrm{P} \mathrm{Q} \mathrm{A} _{1}$의 길이와 같다. $\mathrm{A} _{1}$의 좌표는 $( 3 , - 1 )$이다. $\mathrm{A} _{2} ( a , b )$라 하면 선분 $\mathrm{AA} _{2}$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{3 + a}{2} , \frac{1 + b}{2} \right)$가 직선 $y = 2 x$ 위에 있으므로 $1 + b = 2 ( 3 + a )$, 즉 $2 a - b = - 5 \cdots \text{①}$ 직선 $\mathrm{AA} _{2}$는 직선 $y = 2 x$와 수직이므로 $\displaystyle \frac{b - 1}{a - 3} \times 2 = - 1$, 즉 $a + 2 b = 5 \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 $a = - 1$, $b = 3$이므로 $\mathrm{A} _{2} ( - 1 , 3 )$ 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{A} _{2} \mathrm{P}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA} _{1}} \geq \overline{\mathrm{A} _{2} \mathrm{A} _{1}}$ 등호는 네 점 $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{A} _{1}$이 이 순서로 한 직선 위에 있을 때 성립한다. 직선 $\mathrm{A} _{2} A _{1}$의 방정식은 $y = - x + 2$이고, 이 직선은 직선 $y = 2 x$와 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{2}{3} , \frac{4}{3} \right)$에서, $x$축과 점 $\mathrm{Q} ( 2 , 0 )$에서 만나므로 등호가 성립하는 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 실제로 있다. 따라서 $\displaystyle m = \overline{\mathrm{A} _{2} \mathrm{A} _{1}} = \sqrt{( 3 + 1 ) ^{2} + ( - 1 - 3 ) ^{2}} = 4 \sqrt{2}$이므로 $m ^{2} = 32$