해안선을 거쳐 섬까지 가는 최단 거리

실마리: 점 $\mathrm{A}$와 $x$축에 대하여 대칭인 점을 잡으면 꺾인 경로의 길이가 한 직선의 길이로 바뀐다. 해안선 위의 지점을 $\mathrm{P}$, 섬의 가장자리 위의 지점을 $\mathrm{Q}$라 하면 구하는 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}}$이다. 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 0 , 3 )$과 $x$축에 대하여 대칭인 점을 $\mathrm{D} \mathit{(} 0 , - 3 )$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{DP}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{DP}} + \overline{\mathrm{PQ}} \geq \overline{\mathrm{DQ}}$ 또 점 $\mathrm{Q}$는 원 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DQ}} \geq \overline{\mathrm{DC}} - 2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}} = \sqrt{8 ^{2} + 6 ^{2}} = 10$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} \geq 10 - 2 = 8$ 등호는 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 모두 선분 $\mathrm{DC}$ 위에 있을 때 성립한다. 직선 $\mathrm{DC}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x - 3$이므로 $\mathrm{P} \mathit{(} 4 , 0 )$이고, 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{DC}$와 원이 만나는 점이다. 따라서 구하는 최솟값은 $8$이다. (검산) $\mathrm{P} \mathit{(} 4 , 0 )$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{16 + 9} = 5$, 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{PC}$ 위에서 $\mathrm{C}$까지의 거리가 $2$인 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PC}} - 2 = \sqrt{16 + 9} - 2 = 3$, 곧 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} = 5 + 3 = 8$