정사각형 둘레 위의 점과 넓이의 최대·최소

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$가 일정하므로 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이는 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리에 정비례한다. 그 거리가 가장 크고 작은 곳을 정사각형의 꼭짓점에서 찾는다. 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{5 - 1}{10 - 8} = 2$이므로 그 방정식은 $y - 1 = 2 ( x - 8 )$, 즉 $2 x - y - 15 = 0$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2 ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{5}$ 점 $\mathrm{P} \mathit{(} x , y )$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times \frac{| 2 x - y - 15 |}{\sqrt{5}} = | 2 x - y - 15 |$ 정사각형의 둘레 위에서 $0 \leq x \leq 6$, $0 \leq y \leq 6$이므로 $2 x - y - 15$의 값은 $x = 0$, $y = 6$일 때 최소인 $- 21$, $x = 6$, $y = 0$일 때 최대인 $- 3$이다. 즉 둘레 위의 모든 점에서 $2 x - y - 15 < 0$이고, $| 2 x - y - 15 |$는 점 $\mathrm{E} \mathit{(} 0 , 6 )$에서 최대 $21$, 점 $\mathrm{C} \mathit{(} 6 , 0 )$에서 최소 $3$이다. 따라서 $M = 21$, $m = 3$이고 $M + m = 24$ 검산: 점 $\mathrm{E}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{21}{\sqrt{5}}$, 점 $\mathrm{C}$와의 거리는 $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}$이므로 넓이는 각각 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times \frac{21}{\sqrt{5}} = 21$, $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times \frac{3}{\sqrt{5}} = 3$이다.