원소의 합의 차가 21의 배수인 진부분집합 쌍

실마리: $X \subset Y$이므로 $S ( Y ) - S ( X )$는 차집합 $Y - X$의 원소의 합 $S ( Y - X )$와 같다. 조건 (가)에서 $D = Y - X$는 $A$의 공집합이 아닌 부분집합이다. $A$의 원소는 모두 $2$의 거듭제곱이므로, $A$의 서로 다른 부분집합의 원소의 합은 서로 다르다. (자연수를 이진법으로 나타내는 방법은 한 가지뿐이기 때문이다.) 또 $1 \leq S ( D ) \leq 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$ 조건 (나)에서 $S ( D )$는 $21$의 배수이므로 $S ( D ) = 21$, $42$, $63$ 중 하나이다. $21 = 16 + 4 + 1$이므로 $D = \left\{ 1 , 4 , 16 \right\}$ $42 = 32 + 8 + 2$이므로 $D = \left\{ 2 , 8 , 32 \right\}$ $63 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1$이므로 $D = A$ $D$가 정해지면 $X$는 $A - D$의 부분집합 중 어느 것이어도 되고, $Y = X \cup D$로 하나씩 정해진다. $D = \left\{ 1 , 4 , 16 \right\}$일 때 $A - D = \left\{ 2 , 8 , 32 \right\}$이므로 $X$의 개수는 $2 ^{3} = 8$ $D = \left\{ 2 , 8 , 32 \right\}$일 때 $A - D = \left\{ 1 , 4 , 16 \right\}$이므로 $X$의 개수는 $2 ^{3} = 8$ $D = A$일 때 $A - D = \emptyset$이므로 $X = \emptyset$, $Y = A$의 $1$개 따라서 구하는 순서쌍 $( X , Y )$의 개수는 $8 + 8 + 1 = 17$이다.