두 선분의 길이의 합의 최솟값 빈칸

실마리: 점 $\mathrm{A}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{C}$을 잡으면 꺾인 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$가 $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}} + \overline{\mathrm{BP}}$로 바뀌고, 세 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{B}$가 한 직선 위에 있을 때 최소가 된다. 점 $\mathrm{A} ( 1 , 4 )$를 $x$축에 대하여 대칭이동하면 $\mathrm{C} ( 1 , - 4 )$이므로 (가)는 $- 4$ 직선 $\mathrm{CB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{2 - ( - 4 )}{5 - 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$이므로 (나)는 $\displaystyle \frac{3}{2}$ 직선 $\mathrm{CB}$의 방정식은 $\displaystyle y + 4 = \frac{3}{2} ( x - 1 )$ $y = 0$을 대입하면 $\displaystyle 4 = \frac{3}{2} ( x - 1 )$에서 $\displaystyle x - 1 = \frac{8}{3}$, 즉 $\displaystyle x = \frac{11}{3}$이므로 $\displaystyle r = \frac{11}{3}$ 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} = \sqrt{( 5 - 1 ) ^{2} + ( 2 + 4 ) ^{2}} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$이므로 $\displaystyle s = 2 \sqrt{13}$ (검산) $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{11}{3} , 0 \right)$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{\left( \frac{8}{3} \right) ^{2} + 16} = \frac{4 \sqrt{13}}{3}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = \sqrt{\left( \frac{4}{3} \right) ^{2} + 4} = \frac{2 \sqrt{13}}{3}$ 두 길이의 합은 $\displaystyle 2 \sqrt{13}$으로 최솟값과 같다. 따라서 $3 r + s ^{2} = 11 + 52 = 63$