평행이동한 두 원의 공통현과 이동량

실마리: 두 원은 반지름의 길이가 같으므로 공통현 $\mathrm{AB}$는 두 중심을 이은 선분의 수직이등분선이다. 원 $\mathrm{C}'$의 방정식은 $( x - a ) ^{2} + ( y - b ) ^{2} = 169$이고 중심은 $\mathrm{O}' ( a , b )$이다. 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식 $2 ax + 2 by = a ^{2} + b ^{2}$ 을 얻는다. 이 직선의 기울기가 $\displaystyle - \frac{a}{b} = - \frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle b = \frac{4}{3} a$

선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = 12$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = 13$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \sqrt{169 - 144} = 5$ 두 원의 반지름의 길이가 같으므로 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{OO}'$의 중점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OO}'} = 2 \overline{\mathrm{OM}} = 10$, 즉 $a ^{2} + b ^{2} = 100$ $\displaystyle b = \frac{4}{3} a$를 대입하면 $\displaystyle a ^{2} + \frac{16}{9} a ^{2} = 100$, $a ^{2} = 36$ $a > 0$이므로 $a = 6$, $b = 8$ (확인) 이때 직선 $\mathrm{AB}$는 $12 x + 16 y = 100$, 즉 $3 x + 4 y = 25$이고 원점에서 이 직선까지의 거리는 $\displaystyle \frac{25}{5} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{169 - 25} = 24$이다. 따라서 $a + b = 14$