점대칭이동한 점이 다시 원 위에 있게 하는 직선의 조건

실마리: 점 $\mathrm{B}$가 원 $\mathrm{C}$ 위에 있다는 것은 원 $\mathrm{C}$를 점 $\mathrm{P}$에 대하여 대칭이동한 원이 원 $\mathrm{C}$와 만난다는 뜻이다. 원 $\mathrm{C}$를 점 $\mathrm{P}$에 대하여 대칭이동한 원을 $\mathrm{C}'$이라 하면, 점 $\mathrm{A}$가 원 $\mathrm{C}$ 위에 있으므로 점 $\mathrm{B}$는 원 $\mathrm{C}'$ 위에 있다. 따라서 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{A}$가 존재하는 것은 두 원 $\mathrm{C}$, $\mathrm{C}'$이 만나는 것과 같다. 원 $\mathrm{C}$의 중심을 $\mathrm{M} ( 4 , 3 )$, 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( p , q )$라 하면 원 $\mathrm{C}'$의 중심은 $\mathrm{M}' ( 2 p - 4 , 2 q - 3 )$이고 반지름의 길이는 $2$이다. 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{MM}'$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{MM}'} = 2 \overline{\mathrm{MP}}$ 두 원의 반지름의 길이가 같으므로 두 원이 만나는 조건은 $\displaystyle \overline{\mathrm{MM}'} \leq 4$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{MP}} \leq 2$

즉 점 $\mathrm{P}$가 원 $\mathrm{C}$의 내부 또는 원 위에 있어야 한다. (이때 $\mathrm{P}$는 원 $\mathrm{C}$의 어떤 현의 중점이고, 그 현의 두 끝점이 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 된다.) 직선 $y = x + k$ 위에 이런 점 $\mathrm{P}$가 존재하려면 직선 $x - y + k = 0$이 원 $\mathrm{C}$와 만나야 하므로 $\displaystyle \frac{\left| 4 - 3 + k \right|}{\sqrt{2}} \leq 2$, $\displaystyle \left| k + 1 \right| \leq 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle - 2 \sqrt{2} - 1 \leq k \leq 2 \sqrt{2} - 1$ $\displaystyle 2 \sqrt{2} = \sqrt{8}$이고 $\displaystyle 2 < \sqrt{8} < 3$이므로 이를 만족시키는 정수 $k$는 $- 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1$ 따라서 정수 $k$의 개수는 $5$