교집합과 포함 조건을 만족시키는 배수 집합 쌍

실마리: 교집합은 최소공배수의 배수의 집합이고, $A _{a} \subset A _{3}$은 $a$가 $3$의 배수라는 뜻이다. 조건 (가)에서 $A _{a} \cap A _{b}$는 $a$와 $b$의 최소공배수의 배수의 집합이므로 $a$와 $b$의 최소공배수는 $36$이다. 따라서 $a$, $b$는 모두 $36$의 약수이다. 조건 (나)에서 $A _{a} \subset A _{3}$, $A _{b} \subset A _{3}$이므로 $a \in A _{3}$, $b \in A _{3}$, 즉 $a$, $b$는 $3$의 배수이다. $36$의 약수 중 $3$의 배수는 $3$, $6$, $9$, $12$, $18$, $36$이다. $36 = 2 ^{2} \times 3 ^{2}$이므로 최소공배수가 $36$이려면 $a$, $b$ 중 적어도 하나는 $2 ^{2}$을 인수로 갖고($12$ 또는 $36$), 적어도 하나는 $3 ^{2}$을 인수로 가져야 한다($9$, $18$ 또는 $36$). (i) $b = 36$인 경우: $a$는 $3$, $6$, $9$, $12$, $18$ 중 어느 것이어도 최소공배수가 $36$이므로 $5$개 (ii) $b \ne 36$인 경우: $a$, $b$ 중 하나는 $12$, 다른 하나는 $9$ 또는 $18$이어야 하므로 $( 9 , 12 )$, $( 12 , 18 )$의 $2$개 실제로 $9$와 $12$, $12$와 $18$의 최소공배수는 모두 $36$이다. 따라서 구하는 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $5 + 2 = 7$이다.