길이가 일정한 선분을 거치는 최단 경로

실마리: 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{P}$를 $x$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 점이므로, 점 $\mathrm{B}$를 거꾸로 $x$축의 방향으로 $- 3$만큼 평행이동하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}}$를 $\mathrm{P}$에서 잰 길이로 바꿀 수 있다. 점 $\mathrm{B} \mathit{(} 9 , 5 )$를 $x$축의 방향으로 $- 3$만큼 평행이동한 점을 $\mathrm{B}' \mathit{(} 6 , 5 )$라 하자. 점 $\mathrm{Q} \mathit{(} p + 3 , 0 )$은 점 $\mathrm{P} \mathit{(} p , 0 )$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \sqrt{( 9 - p - 3 ) ^{2} + 5 ^{2}} = \sqrt{( 6 - p ) ^{2} + 5 ^{2}} = \overline{\mathrm{PB}'}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}'}$ 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 0 , 3 )$과 $x$축에 대하여 대칭인 점을 $\mathrm{A}' \mathit{(} 0 , - 3 )$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}'} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PB}'} \geq \overline{\mathrm{A}' B'} = \sqrt{6 ^{2} + 8 ^{2}} = 10$ 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{A}' B'$ 위에 있을 때 성립한다. 직선 $\mathrm{A}' B'$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x - 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{9}{4} , 0 \right)}$ (검산) $\displaystyle p = \frac{9}{4}$이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{\frac{81}{16} + 9} = \frac{15}{4}$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \frac{21}{4} , 0 \right)}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \sqrt{\left( \frac{15}{4} \right) ^{2} + 25} = \frac{25}{4}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{QB}} = \frac{15}{4} + \frac{25}{4} = 10$ 따라서 구하는 최솟값은 $10$이다.