규칙 이동이 순환에 들어간 뒤의 주기

[실마리] 점을 차례로 구하여 같은 점이 다시 나타나는 때를 찾는다. 규칙에 따라 점을 차례로 구하면 $\mathrm{P} _{1} \mathit{(} 3 , 1 )$, $\mathrm{P} _{2} \mathit{(} - 3 , - 1 )$, $\mathrm{P} _{3} \mathit{(} - 2 , 0 )$, $\mathrm{P} _{4} \mathit{(} - 1 , 1 )$, $\mathrm{P} _{5} \mathit{(} 0 , 2 )$, $\mathrm{P} _{6} \mathit{(} 1 , 3 )$, $\mathrm{P} _{7} \mathit{(} - 1 , - 3 )$, $\mathrm{P} _{8} \mathit{(} 0 , - 2 )$, $\mathrm{P} _{9} \mathit{(} 1 , - 1 )$, $\mathrm{P} _{10} \mathit{(} - 1 , 1 )$ $\mathrm{P} _{10} = \mathrm{P} _{4}$이고 다음 점은 그 점의 좌표만으로 정해지므로, $n \geq 4$이면 $\mathrm{P} _{n + 6} = \mathrm{P} _{n}$이다. 즉 $\mathrm{P} _{4}$부터 여섯 점 $( - 1 , 1 )$, $( 0 , 2 )$, $( 1 , 3 )$, $( - 1 , - 3 )$, $( 0 , - 2 )$, $( 1 , - 1 )$이 되풀이된다. $100 = 4 + 6 \times 16$이므로 $\mathrm{P} _{100} = \mathrm{P} _{4} \mathit{(} - 1 , 1 )$ $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}$은 $( - 1 , 1 )$이 아니므로 $\mathrm{P} _{n} \mathit{(} - 1 , 1 )$인 $n$은 $n = 4 , 10 , 16 , \cdots , 100$, 즉 $n = 6 k - 2$ ($k = 1 , 2 , \cdots , 17$) 따라서 구하는 $n$의 개수는 $17$