두 접점을 지나는 직선의 방정식 증명

실마리: 두 접선이 모두 점 $\mathrm{T}$를 지난다는 두 식 ㉠, ㉡을 두 접점의 좌표가 만족시키는 하나의 직선의 방정식으로 읽는다. ㉠, ㉡에서 두 점 $\mathrm{P} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )$, $\mathrm{Q} \mathit{(} x _{2} , y _{2} )$는 모두 직선 $3 x + 4 y = 5$ 위에 있으므로 (가)는 $5$ 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| - 5 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}} = 1$이므로 (나)는 $1$ 원의 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 현 $\mathrm{PQ}$의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \mathit{2} \sqrt{5 - 1 ^{2}} = 4$, 곧 (다)는 $4$ (검산) 직선 $3 x + 4 y = 5$와 원 $x ^{2} + y ^{2} = 5$의 교점을 직접 구하면 $\mathrm{P} \mathit{(} - 1 , 2 )$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \frac{11}{5} , - \frac{2}{5} \right)}$이고, 두 점에서의 접선 $- x + 2 y = 5$, $\displaystyle \frac{11}{5} x - \frac{2}{5} y = 5$는 모두 점 $\mathrm{T} \mathit{(} 3 , 4 )$를 지난다. 또 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{\left( \frac{16}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{12}{5} \right) ^{2}} = 4$ 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합은 $5 + 1 + 4 = 10$