한 점을 지나는 직선과 삼각형의 넓이 판정

실마리: 직선 $l$이 두 축의 양의 부분과 만나므로 기울기는 음수이다. 기울기를 $- m$ ($m > 0$)으로 두고 두 절편을 $m$으로 나타낸다. 직선 $l : y = - m ( x - 2 ) + 1$ ($m > 0$)에서 $y = 0$이면 $\displaystyle x = 2 + \frac{1}{m}$, $x = 0$이면 $y = 2 m + 1$ 즉 $\displaystyle \mathrm{A} \left( 2 + \frac{1}{m} , 0 \right)$, $\mathrm{B} ( 0 , 2 m + 1 )$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \left( 2 + \frac{1}{m} \right) ( 2 m + 1 ) = 2 + 2 m + \frac{1}{2 m}$ ㄱ. $\displaystyle S = \frac{9}{2}$이면 $\displaystyle 2 m + \frac{1}{2 m} = \frac{5}{2}$, 즉 $4 m ^{2} - 5 m + 1 = 0$ $( 4 m - 1 ) ( m - 1 ) = 0$에서 $\displaystyle m = \frac{1}{4}$ 또는 $m = 1$ 두 값이 모두 양수이므로 조건을 만족시키는 직선 $l$은 $2$개이다. (거짓) ㄴ. $y$절편은 $2 m + 1$이고 $m > 0$이므로 $2 m + 1 > 1$ (참) ㄷ. $m > 0$이므로 $\displaystyle 2 m + \frac{1}{2 m} - 2 = \left( \sqrt{2 m} - \frac{1}{\sqrt{2 m}} \right) ^{2} \geq 0$ 즉 $\displaystyle S = 2 + 2 m + \frac{1}{2 m} \geq 4$이고 등호는 $\displaystyle 2 m = \frac{1}{2 m}$, 즉 $\displaystyle m = \frac{1}{2}$일 때 성립한다. 이때 $\mathrm{A} ( 4 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 2 )$이고 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이다. 따라서 넓이의 최솟값은 $4$이다. (참) (다른 풀이) $\displaystyle S = 2 + 2 m + \frac{1}{2 m}$을 정리하면 $4 m ^{2} + ( 4 - 2 S ) m + 1 = 0$ 이 방정식이 양의 실근 $m$을 가져야 하므로 판별식 $( 4 - 2 S ) ^{2} - 16 \geq 0$에서 $S \leq 0$ 또는 $S \geq 4$ $S > 2$이므로 $S \geq 4$이고, $S = 4$일 때 $\displaystyle m = \frac{1}{2}$이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④