넓이가 일정한 점 중 격자점의 개수

넓이 조건을 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리 조건으로 바꾸면 점 $\mathrm{P}$는 직선 $\mathrm{AB}$에 평행한 두 직선 위에 놓인다. 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - 1}{5 - 1} = \frac{1}{2}$이므로 그 방정식은 $x - 2 y + 1 = 0$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{4 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{5}$ 점 $\mathrm{P} \mathit{(} x , y )$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| x - 2 y + 1 |}{\sqrt{5}}$이므로 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times \frac{| x - 2 y + 1 |}{\sqrt{5}} = | x - 2 y + 1 |$ 이 값이 $5$이므로 $x - 2 y + 1 = 5$ 또는 $x - 2 y + 1 = - 5$ 즉 점 $\mathrm{P}$는 두 직선 $x - 2 y - 4 = 0$, $x - 2 y + 6 = 0$ 위에 있다. $0 \leq x \leq 8$, $0 \leq y \leq 8$인 정수 $x$, $y$에 대하여 $x = 2 y + 4$: $y = 0 , 1 , 2$일 때 $x = 4 , 6 , 8$ ($3$개) $x = 2 y - 6$: $y = 3 , 4 , 5 , 6 , 7$일 때 $x = 0 , 2 , 4 , 6 , 8$ ($5$개) 따라서 구하는 점의 개수는 $3 + 5 = 8$