두 점을 지나는 평행한 접선으로 원 정하기

두 접선을 기울기 $m$ 으로 세우고, 중심에서 두 직선까지의 거리가 모두 $r$ 임을 식으로 적는 것이 먼저다. $l _{1} : y - 5 = m ( x - 1 )$, 즉 $mx - y - m + 5 = 0$ $l _{2} : y - 2 = m ( x - 6 )$, 즉 $mx - y - 6 m + 2 = 0$ 두 직선이 모두 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 에 접하므로 원점과 두 직선 사이의 거리가 모두 $r$ 이다. $\displaystyle \frac{\left| - m + 5 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = \frac{\left| - 6 m + 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = r$ $\left| 5 - m \right| = \left| 2 - 6 m \right|$ 에서 $5 - m = 2 - 6 m$ 또는 $5 - m = - ( 2 - 6 m )$ $5 - m = 2 - 6 m$ 이면 $\displaystyle m = - \frac{3}{5}$ 인데, 이때 두 직선은 모두 $3 x + 5 y - 28 = 0$ 으로 일치하므로 서로 다른 두 직선이라는 조건에 맞지 않는다. $5 - m = - 2 + 6 m$ 에서 $m = 1$ 이때 $l _{1} : y = x + 4$, $l _{2} : y = x - 4$ 이고 $\displaystyle r = \frac{\left| 4 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = 2 \sqrt{2}$ 따라서 $r ^{2} = 8$