움직이는 점을 지나는 외접원의 넓이 최소

실마리: 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 원의 반지름은 $\displaystyle \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} = 4$보다 작을 수 없다. 반지름이 $4$가 되는 원이 직선 $y = 4$ 위의 점을 지날 수 있는지 본다. 외접원의 중심은 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 $x = 4$ 위에 있으므로 중심을 $( 4 , k )$라 하면 반지름의 제곱은 $r ^{2} = 4 ^{2} + k ^{2} = 16 + k ^{2}$ $\mathrm{C} ( t , 4 )$가 이 원 위에 있으므로 $( t - 4 ) ^{2} + ( 4 - k ) ^{2} = 16 + k ^{2}$ 정리하면 $( t - 4 ) ^{2} = 8 k$ 좌변이 $0$ 이상이므로 $k \geq 0$이고, $k = 0$은 $t = 4$일 때 가능하다. 따라서 $r ^{2} = 16 + k ^{2} \geq 16$이고 최솟값 $16$은 $k = 0$, 즉 $\mathrm{C} ( 4 , 4 )$일 때이다. 이때 외접원은 $( x - 4 ) ^{2} + y ^{2} = 16$으로 선분 $\mathrm{AB}$가 지름이고, 점 $\mathrm{C} ( 4 , 4 )$에서 각 $\mathrm{ACB}$는 직각이다. (다른 풀이) 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 $( x - 4 ) ^{2} + y ^{2} = 16$은 점 $( 4 , 4 )$에서 직선 $y = 4$와 만나므로, 반지름의 하한 $4$가 실제로 이루어진다. 따라서 외접원의 넓이의 최솟값은 $16 \pi$이고 $S = 16$