교집합·합집합이 같으면 두 집합이 같은가

실마리: 집합 $A$의 원소는 $X$에 속하는 것($A \cap X$)과 속하지 않는 것($A - X$)으로 나뉜다. 즉 $A = ( A \cap X ) \cup ( A - X )$이다. ㄱ. $U = \left\{ 1 , 2 \right\}$, $A = \left\{ 1 \right\}$, $B = \left\{ 2 \right\}$, $X = \emptyset$이면 $A \cap X = B \cap X = \emptyset$이지만 $A \ne B$ (거짓) ㄴ. $U = \left\{ 1 , 2 \right\}$, $A = \left\{ 1 \right\}$, $B = \left\{ 2 \right\}$, $X = U$이면 $A \cup X = B \cup X = U$이지만 $A \ne B$ (거짓) ㄹ. $A = ( A \cap X ) \cup ( A - X )$, $B = ( B \cap X ) \cup ( B - X )$이고 $A \cap X = B \cap X$, $A - X = B - X$이므로 $A = B$ (참) ㄷ. $A - X$는 $A \cup X$의 원소 중 $X$에 속하지 않는 것 전체의 집합이므로 $A - X = ( A \cup X ) - X$이다. 같은 이유로 $B - X = ( B \cup X ) - X$ $A \cup X = B \cup X$이므로 $A - X = B - X$ 여기에 $A \cap X = B \cap X$를 더하면 ㄹ에 의하여 $A = B$ (참) 따라서 항상 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. ④