차의 절댓값에 닫힌 집합의 원소 합

실마리: $X$의 가장 작은 원소를 $d$라 하면 $X$의 모든 원소는 $d$의 배수이다. $X$의 원소 $x$ ($x \ne d$)에 대하여 조건 (나)에서 $x - d \in X$이고, $x - d \ne d$이면 다시 $x - 2 d \in X$이다. 이를 반복하여 얻는 $x - kd$는 $X$의 원소이므로 $d$보다 작아질 수 없고, 따라서 어느 단계에서 $x - kd = d$, 즉 $x = ( k + 1 ) d$이다. 또 $X$의 가장 큰 원소를 $M$이라 하면 $M , M - d , M - 2 d , \cdots , d$가 모두 $X$의 원소이다. $n ( X ) = 6$이므로 $X = \left\{ d , 2 d , 3 d , 4 d , 5 d , 6 d \right\}$이다. $24 \in X$이므로 $d$는 $24$의 약수이고 $6 d \geq 24$에서 $d \geq 4$이다. $6 d \leq 40$에서 $d \leq 6$이므로 $d = 4$ 또는 $d = 6$이다. $d = 6$일 때 $X = \left\{ 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 \right\}$이고, 서로 다른 두 원소의 차는 $6$의 배수이면서 $30$ 이하이므로 조건 (나)를 만족시킨다. $d = 4$일 때 원소의 합은 $4 \times 21 = 84$, $d = 6$일 때 원소의 합은 $6 \times 21 = 126$이다. 따라서 모든 원소의 합의 최댓값은 $126$이다.