사차함수의 정적분 값

함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 극값 $2$를 가지므로 $f ( 1 ) = 2$, $f' ( 1 ) = 0$ 사차함수 $f ( x )$가 $x ^{3}$으로 나누어떨어지므로 $f ( x ) = x ^{3} ( ax + b )$로 놓을 수 있다. 미분하면 $f' ( x ) = 4 ax ^{3} + 3 bx ^{2}$이다. $f ( 1 ) = 2$에서 $a + b = 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f' ( 1 ) = 0$에서 $4 a + 3 b = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $a = - 6$, $b = 8$ $\therefore$$f ( x ) = x ^{3} ( - 6 x + 8 ) = - 6 x ^{4} + 8 x ^{3}$ $\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( x - 1 )} dx$에서 함수 $f \left( x \right)$를 $x$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동하면 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( x - 1 )} dx = \int _{- 1} ^{1} f ( x ) dx$ $\therefore$$\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( x - 1 )} dx$$\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} f ( x ) dx$ $=$$\displaystyle \int _{- 1} ^{1} ( - 6 x ^{4} + 8 x ^{3)} dx$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {( - 6 x ^{4} )} dx$ $\displaystyle = \left[ - \frac{12}{5} x ^{5} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = - \frac{12}{5}$