로그 합성함수 방정식

조건 (가)의 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{g \left( e ^{x} - 1 \right)}{\sin x} = 1$에서 $x \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} g \left( e ^{x} - 1 \right) = 0$이므로 $g \left( 0 \right) = 0$ 이때 $g \left( x \right)$는 자연수 $k$에 대하여 최고차항의 계수가 $k$인 삼차함수이므로 $g \left( x \right) = kx ^{3} + ax ^{2} + bx$ ($a$, $b$는 상수) 로 놓으면 $g' \left( x \right) = 3 kx ^{2} + 2 ax + b$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{g \left( e ^{x} - 1 \right)}{\sin x} = 1$에서 $e ^{x} - 1 = t$로 놓으면 $x \rightarrow 0$일 때 $t \rightarrow 0$이고 $x = \ln \left( t + 1 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{g \left( e ^{x} - 1 \right)}{\sin x}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0} {} \frac{g \left( t \right)}{\sin \left\{ \ln \left( t + 1 \right) \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0} {} \left\{ \frac{g \left( t \right)}{t} \times \frac{t}{\ln \left( t + 1 \right)} \right.$ $\displaystyle \left. \times \frac{\ln \left( t + 1 \right)}{\sin \left( \ln \left( t + 1 \right) \right)} \right\}$ $= g' \left( 0 \right) \times 1 \times 1$ $= b$ 즉 $b = 1$이므로 $g \left( x \right) = kx ^{3} + ax ^{2} + x$ 한편 조건 (나)에 의하여 방정식 $f \left( g \left( x \right) \right) = f \left( x \right)$를 만족시키는 $x$의 값이 집합 $A$의 원소이고 $x = 0$일 때 $f \left( g \left( 0 \right) \right) = f \left( 0 \right)$ 에서 $g \left( 0 \right) = 0$, $f \left( 0 \right) = 0$이므로 $0$은 집합 $A$의 원소이다. $x \neq 0$일 때 $f \left( x \right) = \ln \left( x ^{2} \right)$이므로 $f \left( g \left( x \right) \right) = f \left( x \right)$에서 (ⅰ) $g \left( x \right) \neq 0$일 때 $\ln \left\{ g \left( x \right) \right\} ^{2} = \ln x ^{2}$이므로 $\left\{ g \left( x \right) \right\} ^{2} = x ^{2}$ $\therefore$ $g \left( x \right) = x$ 또는 $g \left( x \right) = - x$ (a) $g \left( x \right) = x$일 때 $kx ^{3} + ax ^{2} = 0$에서 $x \ne 0$이므로 $kx + a = 0$ $\therefore$ $\displaystyle x = - \frac{a}{k}$ (b) $g \left( x \right) = - x$일 때 $kx ^{3} + ax ^{2} + 2 x = 0$에서 $x \ne 0$이므로 $kx ^{2} + ax + 2 = 0$ (ⅱ) $g \left( x \right) = 0$일 때 $f \left( g \left( x \right) \right) = f \left( 0 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = 0$에서 $\ln \left( x ^{2} \right) = 0$ $\therefore$ $x = 1$ 또는 $x = - 1$ 즉 $g \left( 1 \right) = 0$이면 $1 \in A$이고 $g \left( - 1 \right) = 0$이면 $- 1 \in A$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $x \neq 0$일 때 두 방정식 $g \left( x \right) = x$, $g \left( x \right) = - x$의 서로 다른 실근의 개수는 최대 $3$이고 $0 \in A$이므로 $n \left( A \right) = 5$가 되려면 $1 \in A$ 또는 $- 1 \in A$이어야 한다. 그런데 집합 $A$의 원소 중 가장 큰 값은 양수가 아니므로 $1 \notin A$, $- 1 \in A$이어야 하고 $g \left( - 1 \right) \ne 1$, $g \left( - 1 \right) \ne - 1$ 이어야 한다. 즉 $g \left( - 1 \right) = 0$이므로 $- k + a - 1 = 0$ $\therefore$ $a = k + 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 이차방정식 $kx ^{2} + \left( k + 1 \right) x + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $D = \left( k + 1 \right) ^{2} - 4 \times k \times 2 > 0$ $k ^{2} + 2 k + 1 - 8 k > 0$, $k ^{2} - 6 k + 1 > 0$ $\therefore$ $\displaystyle k < 3 - 2 \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle k > 3 + 2 \sqrt{2}$ 즉 자연수 $k$의 최솟값은 $6$이고 $k = 6$을 ㉠에 대입하면 $a = 6 + 1 = 7$ 이므로 $x \neq 0$일 때 방정식 $g \left( x \right) = x$의 해는 $\displaystyle - \frac{7}{6}$이고 방정식 $g \left( x \right) = - x$의 해는 $6 x ^{2} + 7 x + 2 = 0$에서 $\left( 2 x + 1 \right) \left( 3 x + 2 \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle x = - \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle x = - \frac{2}{3}$ 이때 $\displaystyle A = \left\{ 0 , - \frac{1}{2} , - \frac{2}{3} , - 1 , - \frac{7}{6} \right\}$이므로 $\displaystyle \alpha = - \frac{7}{6}$ 이고 $x \neq 0$일 때 $f \left( x \right) = \ln \left( x ^{2} \right) = 2 \ln \left| x \right|$ 에서 $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{2}{x}$ 즉 $\displaystyle f' \left( \alpha \right) = f' \left( - \frac{7}{6} \right) = - \frac{12}{7}$ 이므로 $\displaystyle \left\{ f' \left( \alpha \right) \right\} ^{2} = \frac{144}{49}$ 따라서 $p = 49$, $q = 144$이므로 $p + q = 49 + 144 = 193$