제한된 범위에서 항상 성립할 조건

$\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$이므로 $2 \sin ^{2} x + 4 \cos x + k = - 2 \cos ^{2} x + 4 \cos x + k + 2$ $\cos x = t$라 하면 $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{2}{3} \pi$에서 $\displaystyle - \frac{1}{2} \leq t \leq 1$ $f ( t ) = - 2 t ^{2} + 4 t + k + 2 = - 2 ( t - 1 ) ^{2} + k + 4$라 하면 $f ( t )$는 $\displaystyle - \frac{1}{2} \leq t \leq 1$에서 증가하므로 $\displaystyle t = - \frac{1}{2}$에서 최솟값을 갖는다. $\displaystyle f \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{1}{2} - 2 + k + 2 = k - \frac{1}{2}$ 부등식이 항상 성립하려면 $\displaystyle k - \frac{1}{2} \geq 0$, 즉 $\displaystyle k \geq \frac{1}{2}$ 따라서 $k$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 답 ②